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La somme des rangs de Wilcoxon, ses moments, sa distribution nulle,avec illustration et compléments

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Bibliographic information: BibTEX format RIS format XML format APA style
Cited references information: BibTEX format APA style
Doi: 10.20982/tqmp.16.1.p046

Laurencelle, Louis
46-53
Keywords: Non-parametric tests; Wilcoxon test; rank test
Tools: Excel
(no sample data)   (Appendix)

This paper delves into Wilcoxon's sum-of-ranks $R$ statistic (and Mann-Whitney's translated equivalent $U$) for testing the difference between two groups. The first four raw and central moments and the $\gamma _1$ and $\gamma _2$ shape indices of the statistic are given, along with a general method for working them out. As for $R$'s null distribution, a fair sample of published tables is offered, plus two continuous (Beta, Normal) approximations. We provide a detailed procedure for establishing individual probabilities of $R$ using a recursive function of the partition of an integer. A worked out example serves to illustrate the mathematical contents. In a conclusive section, we examine the statistical power of the $R$ (and $U$) test against Student's t reference test, with a somewhat advantageous recommendation for the former. // La statistique $R$ (ou $W$) attribuée à Wilcoxon (1945), soit la somme des rangs associés aux $k$ observations du groupe 1, $R = r_1 + r_2 + ... + r_k$ , permet de décider si le niveau des données diffère entre les $k$ observations du groupe 1 et les $n - k$ observations du groupe 2, ce au moyen d'un test non-paramétrique. Algébriquement équivalente au $U$ de Mann et Whitney (1947), elle supplée au test $t$ de la différence entre deux moyennes indépendantes sans reposer sur la condition de normalité des observations. Nous mettons d'abord en place un exemple fictif, avec sa solution classique par le test $t$ de Student. Nous présentons ensuite une procédure d'intérêt général pour établir les moments à l'origine et les moments centraux de $R$ et de $U$, ce qui nous permet de présenter une expression algébrique simple de ses 3$^e$ et 4$^e$ moments et, grâce à eux, d'offrir une modélisation de la distribution de $R$ et $U$ par la loi Bêta symétrique. Enfin, nous nous intéressons à la distribution nulle de R, ce grâce à une variante originale de la méthode de partition d'un entier : la parenté entre l'élément $f_{n,k}(R)$ de la distribution de fréquences de $R$ et le nombre de partitions d'un entier est étudiée. Nous proposons une fonction $Q(S,k,x)$, à définition récursive, qui dénombre les $k$ partitions de l'entier $S$ formées d'éléments si tels que $1 \le s_i \le x$. Posant $S = R-\nicefrac {1}{2}k(k-1)$, $k = k$ et $x = n-k+1$, la fonction $Q$ fournit directement la fréquence $f_{n,k}(R)$. Les calculs (moments, probabilité exacte, modélisation Bêta, approximation normale) sont alors appliqués à l'exemple donné en illustration. L'exposé se conclut par des considérations sur la puissance statistique du test de Wilcoxon, sous différentes conditions.


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